30 de abril de 2007

Las 5 esferas



3 esferas iguales estan sobre una superficie plana , cada una tocando a las otras dos. Otra esfera del mismo tamaño se coloca sobre estas tres , tocando a todas ellas al mismo tiempo.

¿Cual será el tamaño de la mayor esfera posible que toque las 4 esferas al mismo tiempo?

¿y la mas pequeña?





5 comentarios:

Héctor Gutiérrez dijo...

La de mayor tamaño sería una que las contuviera a las 4 en su interior, y la menor sería una que cupiera en el espacio que queda en el centro de las 4 esferas.

Sable dijo...

La más pequeña es la mayor esfera que cabe en el espacio entre las cuatro esferas.

No se si hacía falta, pero me resultó interesante el cálculo del radio de la quinta esfera en función del radio de las otras cuatro, en el caso de la más pequeña que toque a las otras cuatro. (r=radio de las esferas originales)(sqrt=raíz cuadrada)

Sería r[sqrt(3)/12].

LLegar a este resultado es sencillo, pero no lo pongo porque el método es muy geométrico.

La idea sería olvidarse de las esferas y quedarse con tres circunferencias(secciones de la esferas por el ecuador) iguales tangentes. Se unen sus radios y obtenemos un triángulo equilátero. Se divide este último en cuatro triángulos equiláteros iguales. Y el triánulo central, volteado respecto al original se divide de nuevo en cuatro triángulos equiláteros. El del centro, semejante al original, pero con una reducción de 1/4 de lado, su circunferencia inscrita es la sección de la esfera pequeña por el ecuador. Sabiendo que el radio de la circunferencia inscrita es 1/3 de la altura(aplicando pitágoras) del triángulo , hemos acabado.

El volumen sería 1/64 del original. Sabiendo la fórmula del volumen de la esfera y el radio de la esfera pequeña es sencillo.

En resumen que me enrollo demasiado explicando y que no valgo para eso.

Intentaré hacer lo mismo con la esfera mayor, que como dice Héctor es la menor esfera posible que contenga a las otras cuatro.

Saludos!

Sable dijo...

Lo último que he dicho, ES INCORRECTO. Me he olvidado completamente de una de las esferas pensando que no influía en el resultado.

Los cálculos son correctos, pero el planteamiento no. La solución anterior que he dado sería la correspondiente al enunciado ¿Cuál es el menor tamaño posible de una esfera tangente a otras tres?

La cosa se complica bastante con cuatro.

Perdón por la metedura de pata. No me canso de corregirme a mi mismo. Almenos puedo decir que de los errores se aprende.

De todas formas seguiré intentándolo y equivicándome. Bonito problema de geometría.

Jose dijo...

Sable , intenta prober imaginando tetraedros . Vi hace poco en tu blog que el tema se te da bien . ;)

Sable dijo...

Eso estoy intentando, peleándome con los tetraedros, y algún otro poliedro curioso que aparece, intentando dar el salto desde el plano al espacio. Haber si hay suerte.