17 de marzo de 2007

El paseo del monje


Acá va otro problema que, según cómo se plantee, puede resultar fácil o difícil. (Y no, no tiene ningún "truco" ni "trampa".)

Un monje parte al amanecer de cierto día desde su monasterio, que se encuentra al pié de una montaña, hacia la cima de la misma. En su camino asciende por un angosto sendero, quizás deteniéndose cada tanto para recuperar el aliento o para apreciar el paisaje. Al cabo de varias horas, finalmente alcanza la cima.

Una vez allí, adopta la posición de loto y permanece meditando el resto del día y también la noche siguiente. Al amanecer del nuevo día, se levanta y emprende el camino de regreso al monasterio, a través del mismo sendero por el que había ascendido.

Podemos observar que:

  • El tiempo empleado en ascender muy probablemente haya sido mayor que el del descenso.
  • La hora de partida muy probablemente no haya sido exactamente la misma en ambos días.
  • La velocidad del monje no ha sido constante (en algunos momentos puede haber caminado más rápido o más lento y seguramente se detuvo varias veces en su camino).

Sin embargo, la tesis es que necesariamente debió atravesar algún punto del camino exactamente a la misma hora (con un día de diferencia). ¿Puede el lector dar una explicación , o al menos hacernos ver de una manera evidente que tiene que ser así?

Algunas aclaraciones:

  • No importa si los puntos de partida/llegada (el lugar del monasterio de donde salió y adonde llegó) no son exactamente el mismo.
  • Consideramos al sendero lo suficientemente angosto, es decir, no importan los desplazamientos laterales. El camino puede ser sinuoso, pero lo consideramos una línea.
  • La condición más importante es que el camino sea lo suficientemente largo (recordemos que hablamos de "varias" horas).
Solucion en comentarios

5 comentarios:

ap2 dijo...

El señor Bolzano te puede ayudar:
Sea f(t)= altura del primer día
Sea G(t)= altura del 2º día
ambas funciones son continuas en el intervalo de tiempo que nos ocupa
Si h(t)= g(t)- f(t) es una función continua que toma valores de distinto signo en el intervalo. Entonces hay un punto en el que h(t)=0 en ese punto f y g tienen el mismo valor. Tienen la misma altura.
saludos
ap2

Mano dijo...

Basta con imaginar un doble del monje que asciende haciendo exactamente su mismo tipo de recorrido ascendente pero en el mismo día, que también realiza el descendente.
Necesariamente se cruzarían en un punto del camino, en un instante dado.

Jose dijo...

Lo de Bolzano me queda ya muy lejos ( en el tiempo) para recordarlo , pero supongo que es una forma correcta de interpretarlo.

De una forma intuitiva y grafica , como dice mano , parece evidente , aunque en el enunciado del problema no se ve tan obvio.

Anónimo dijo...

supongamos que comenzó a ascender a las 11,00 Hs y llegó a la cumbre a las 19,00 y que comenzó a descender a las 6,00 Hs y llegó al monasterio a las 10,00. En ningún momento coincidieron los horarios en ningún punto y no hace falta ninguna fórmula extraordinaria para saberlo.

Jose dijo...

Correcto anonimo ,aunque la condicion de que durase varias horas y la salida fuera al amanecer (quiza esto no lo respetas del todo)se pusieron para evitar la situacion que comentas.