29 de enero de 2007

La herencia infinita


No intentes contar el infinito...

Herencia con infinitas monedas



Aquí va: un señor tenía dos hijos.

Era una persona tan rica, que su capital era infinito.

Como sabía que estaba por morirse, convoca a sus dos hijos y

antes de retirarse de este mundo les dice: “Yo los quiero a los dos

por igual. No tengo otros herederos más que ustedes, de modo

que les voy a dejar mi herencia en monedas de un euro”. (Es decir

que les dejaba infinitas monedas de un euro.) “Eso sí, quiero que

hagan un reparto justo de la herencia. Aspiro a que ninguno

de los dos trate de sacar ventaja sobre el otro”. Y murió.

Llamemos a los hijos A y B . Los dos, después

de pasar por un lógico período de duelo, deciden sentarse

a pensar en cómo repartir la herencia respetando el pedido

del padre. Luego de un rato, A dice tener una idea y se la propone

a B.

–Hagamos una cosa –dice A–. Numeremos las monedas.

Pongámosle 1, 2, 3, 4, 5… etcétera. Una vez hecho esto, te propongo

el siguiente procedimiento: tu eliges primero dos monedas

cualesquiera. Después, me toca a mí. Yo, entonces, elijo una

de las monedas que tu elegiste, y te toca a ti otra vez. Eliges

otra vez dos monedas de la herencia, y yo elijo una de las que

seleccionaste, y así sucesivamente. Tu vas eligiendo dos por vez,

y yo me quedo con una de las que ya apartaste.

B se queda pensando.


¿Es justa la propuesta

de A? ¿Es equitativa? ¿Reparte la herencia en cantidades

iguales? ¿Respeta la voluntad del padre?

Adaptado del libro de Paenza. ¿Matematica, estas ahí?

La solucion ( si la hay) queda en el aire tras los distintos comentarios.

5 comentarios:

Anónimo dijo...

Como la duración del reparto es infinita, habrá que pensar en quién se muere antes mientras lo están haciendo y en qué fase del reparto.
Creo que entonces tiene ventaja el que coge las dos monedas.

Jose dijo...

Pues esa circunstancia no fue tenida en cuenta por el autor , pero ciertamente creo que tienes toda la razon...

email_galicia dijo...

Por otro lado, si se supone que se reparten todas las monedas, ambos se van a quedar con un número infinito y equivalente de monedas. Y seguiría siendo así aunque el primero cogiera 10 monedas de cada vez y el segundo solo una. Ambos tendrían infinitas y de la misma cardinalidad que el conjunto inicial, pero eso ya es lógica matemática profunda.

Jose dijo...

Je je , la verdad es que los problemas que involucran al infinito nunca los he llegado a comprender claramente.

Os dejo aqui la solucion que da Paenza en su libro:

"SOLUCIÓN:
Este problema es interesante porque no tiene una solución
única. Es decir: no se puede afirmar que la propuesta es justa
ni injusta. Veamos:
CASO 1. Supongamos que lo que propone A se lleva a cabo
de la siguiente manera:
B elige las monedas 1 y 2.
A saca entonces la moneda 2.
B elige las monedas 3 y 4.
A se queda con la 4.
B elige las monedas 5 y 6.
A se queda con la 6.
Creo que está claro el patrón que están siguiendo. B elige dos
monedas consecutivas, una impar y otra par, y A se queda con
la moneda par.
¿Es justo este proceso? Uno puede decir que sí, porque B
se va a quedar con todas las monedas impares y A con todas las
pares. Si ésa va a ser la forma de distribuir la herencia, la voluntad
del padre se verá satisfecha y ninguno de los dos sacará ninguna
ventaja.
CASO 2. Supongamos que ahora el proceso se lleva a cabo de
la siguiente manera:
B elige las monedas 1 y 2.
A elige la moneda 1.
B elige las monedas 3 y 4.
A elige la moneda 2 (que había elegido B en la primera
vuelta).
B elige las monedas 5 y 6.
A elige la moneda 3.
B elige las monedas 7 y 8.
A elige la moneda 4…
¿Le parece que la distribución es justa? No siga leyendo;
piénselo. Si este proceso continúa, y obviamente debería continuar
porque las monedas son infinitas, A se estaría quedando
con todas las monedas, mientras que a B no le quedaría
nada. Es decir que esta repartición no es justa ni respeta la
voluntad paterna.
Sin embargo, la propuesta original que A le había hecho a
su hermano B no está bien ni mal. Depende de la forma en que
sean elegidas las monedas… y eso desafía la intuición. Lo invito
a que piense: si en lugar de tratarse de una herencia infinita,
se tratara de una herencia normal, como la que podría dejar cualquier
persona al morir, la pongan en monedas o no, ¿la distribución
que propuso A está siempre bien?
CASO 3. Otra propuesta es el siguiente reparto: en cada
paso, a A se le permite sacar cualquier número (pero finito) de
monedas, y B elige sólo una de las que eligió A. ¿Sería una repartición
justa? Lo dejo pensar en soledad.

Ahora sí, agrego la solución: No importa qué número de
monedas extraiga A, en la medida que B se lleve primero la
moneda número 1. En el segundo paso, cuando A vuelva a hacer
su selección, B le “sacará” la moneda número 2. Luego A sigue
llevándose monedas en forma consecutiva, y cuando termina, B
le “saca” la moneda número 3, y así sucesivamente. Como el proceso
es infinito, B se quedará con todas las monedas de A, independientemente
de la cantidad que A se lleve en cada oportunidad
que le toca elegir.
Este ejemplo muestra una vez más que los conjuntos infinitos
tienen propiedades que atentan contra la intuición. De hecho,
la moraleja que uno saca de estos ejemplos es que las leyes con
las que estamos acostumbrados a pensar con los conjuntos finitos
no necesariamente son aplicables a los conjuntos infinitos,
y por lo tanto hay que aprender a pensar distinto y a entrenar
la intuición."

Anónimo dijo...

pues yo habia pensado que si a coje dos monedas y b coje una de las monedas de a siempre van a tener igual numero de monedas