19 de octubre de 2007

Acertijo matematico. El coche.


Un acertijo estilo "academico" , pero en el que hay que aplicarse para resolverlo.


Un coche circula pendiente abajo de una montaña a 72 km/h , en terreno llano a 63 km/h y cuesta arriba a 56 km/h.
El coche tardó 4 horas para ir del pueblo A al pueblo B.
En el viaje de vuelta tardó 4 horas y 40 minutos.

Encontrar la distancia entre los dos pueblos.


Actualizacion : Solucion en comentarios , con excelente exposicion de Acid

7 comentarios:

kimita dijo...

este como es matematica pura creo que es bastante facil:

la diferencia de 40 minutos ha de ser en el terreno en cuesta

bajando 2h 20 min y 1h 40 min en llano= mas o menos 272 km
subiendo 3h y 1h 40 min en llano= mas o menos 272 km

todo esto sin tener en cuenta atascos, caravanas, semaforos y demás...

Leonardo dijo...

La solución a la que llegué yo parte del supuesto de que el camino puede o no tener las tres clases de pendiente.

Es decir, en la solución que dió kimita se considera un camino que de ida tiene partes llanas y partes en bajada y que, por supuesto, a la vuelta tiene partes llanas y partes en subida.

Ahora bien, se puede pensar también en una solución que tenga sólo subidas y bajadas, sin partes llanas.

Considerando este caso, la solución es exactamente 273km...

220,5 km en bajada y 52,5 km en subida a la ida.

220,5 km en subida y 52,5 km en bajada a la vuelta.

Eso es todo.

Acid dijo...

De A a B habrá una parte de bajada (a km), una parte llana (b km) y una parte de subida (c km).

a/72 + b/63 + c/56 = 4 h

De B a A es similar pero c es bajada y a es subida:

c/72 + b/63 + a/56 = 14/3 h

Restando BA - AB:

(a-c)*(1/56 - 1/72) = 2/3
a-c = 8*7*3 = 168 km


Esta diferencia entre a y c supone en tiempo desde A a B: 168/72 = 140 min (2h 20min)

Desde B a A: 168/56 = 3h = 180 min

Restando: 100 minutos en ambos casos (100=240-140=280-180) que son un tramo c de bajada, un tramo b llano y un tramo c de subida.
100 min = c*5/6+b*20/21+c*15/14
4200=c*80+b*40
Esto lleva a 105 = c*2+b

Por tanto: Distancia = 168 + 2*d + b = 168 + 105 = 273 Km !!

Pero esto ocurre siempre!
La solución de leonardo es sin partes llanas (b=0 .. d=52,5 a=168+52,5=220,5)

La solución de kimita es cuando d=0... b=105, c=0, a=168

Acid dijo...

Perdón, al final aparece una d... porque di un nuevo nombre (d) al tramo de bajada de A a B después de quitar a-c, pero evidentemente a - (a-c) = c... es decir, ese tramo es equivalente en distancia al tramo c (subida de A a B).

Así que la última parte debe decir:

Por tanto: Distancia = 168 + 2*c + b = 168 + 105 = 273 Km !!

Pero esto ocurre siempre!
La solución de leonardo es sin partes llanas (b=0 .. c=52,5 km a=168+52,5=220,5 km)

La solución de kimita es cuando d=0... b=105 km, c=0, a=168 km

Suponiendo kilómetros enteros habría 53 soluciones (para a, b y c), b impares desde b=105 hasta b=1 (b impar), o bien, c cualquiera desde c=0 a c=52
(a=168+c, b = 105-2*c)

ej: c=2, a=170, b=101
ej2: c=32, a=200, b=41
ej3: c=50, a=218, b=5

Acid dijo...

Otra forma de resolverlo:

Tenemos 2 ecuaciones con 3 incógnitas...
Y nos piden otra ecuación:
a+b+c = ?

Se podrá obtener esa suma si y sólo si a+b+c puede expresarse como una combinación lineal de las otras.

Estas son las 2 ecuaciones

a/72 + b/63 + c/56 = 4 h

a/56 + b/63 + c/72 = 14/3 h

Que multiplicando todo por 7*8*9 tambien pueden expresarse como:

7*a + 8*b + 9*c = 4*7*8*9
9*a + 8*b + 7*c = (14/3)*7*8*9

Y ¡oh sorpresa! se ve a simple vista que sumando ambas tenemos un vector proporcional a a+b+c:

16*(a+b+c) = 7*8*9*(12+14)/3

a+b+c = 7*3*13 = 273 Km !!

Jose dijo...

OK.

Acid dijo...

Y un último apunte:

En este problema existe solución porque los datos son algo especiales, pero no son tan tan especiales.

Se pueden cambiar todos los datos del problema y seguirá teniendo solución (se podrá calcular la suma, es decir, la distancia entre A y B), siempre que se cumpla una sóla condición: una relación entre las 3 velocidades... La inversa de la velocidad en llano debe ser la media de las inversas de las otras dos:
1/V_llano = (1/V_abajo + 1/V_arriba) / 2

En este caso:
1/72 + 1/56 = (7+9)/(7*8*9)
1/63 = 8/(7*8*9)



La razón es que en todos los problemas de este tipo, la incógnita a se multiplica por la inversa de la velocidad de subida en una ecuación y de bajada en la otra, mientras que con la c ocurre a la inversa. Entonces, para formar una suma proporcional a (a+b+c) se consigue para la a y la c sumando las dos ecuaciones (al sumar ambos, a y c, tendrán el mismo coeficiente), pero para que exista solución el factor de la b al sumar debe estar alineado con los otros dos factores (debe coincidir) y eso sólo ocurre cuando se cumple la condición expuesta antes. Los tiempos (de A a B y de B a A) pueden ser cualesquiera... (mayores que 0 y a ser posible distintos, para que no sea a=c)

Ej:
V_subida = 20
V_bajada = 60

1/V_llano debe ser 2/(1/20 + 1/60) = 2/(4/60)
V_llano = 30


DistanciaAB = (TiempoAB + TiempoBA)*V_llano/2

(es como decir: recorriendo de AaB y de BaA habrá en total igual de subidas que bajadas y si se cumple la condición de velocidades, necesaria para que el problema tenga solución, se puede calcular como si todo, AaByBaA fuese llano)
Tiempo total: TT = TAB + TBA = (4+14/3) = 26/3
DistanciaABBA = 63 * TT = 21*26

DistanciaAB = DistanciaABBA / 2 =
= 21*13 = 273 Km