19 de septiembre de 2007

Acertijo. Demostracion matematica



Esta vez mas que una acertijo , dado lo sencillo que os resultará , os lo pongo como curiosidad.

Todos conocemos distintas "demostraciones" de 1=2 y similares ; en esta ocasion , aunque el error cometido no es el habitual en este tipo de desarrollos , tambien se utiliza mucho como engaño , pero me ha gustado y por eso lo escribo.


Sean dos numeros enteros a y b tal que a + b = c , por lo tanto:

a + b = c
(a + b)(a - b) = c(a - b)
a2 - b2 = ca - cb
a2 - ca = b2 - cb
a2 - ca + c2/4 = b2 - cb + c2/4
(a - c/2)2 = (b - c/2)2
a - c/2 = b - c/2
a = b

¿En qué linea se comete el primer error?


Actualizacion: Acid lo explica perfectamente en comentarios

3 comentarios:

Acid dijo...

Yo creo que el error es:

(a - c/2)^2 = (b - c/2)^2
a - c/2 = b - c/2

Que los cuadrados sean iguales no implica que las partes sean iguales.
Cuadrados X^2 = Y^2 implica:
( (X=Y) o bien (X=-Y) )

Es decir hay dos posibilidades, dos soluciones, dos raices...

La raíz a - c/2 = b - c/2
implicaría a = b... Es una solución posible, pues de cumplirse eso, se cumple la ecuación desde la segunda línea.

La raíz a - c/2 = - ( b - c/2 )
implica: a+b = c
Que es la otra posible solución.

Es lo mismo que decir:
(a + b - c)(a - b) = 0

Eso puede ser cero siempre que (a-b = 0), sii a = b (esa es una solución)

y también siempre que ocurra (a + b - c) = 0 , que equivale a c=a+b


En el fondo no se diferencia mucho del típico paso erróneo de dividir por cero.

(a + b - c)*(a - b) = 0*(a + b - c)

"simplificando" (a+b-c)
quedaría (a-b) = 0

Pero es el mismo error: no puedes cargártelo porque es otra solución, o dicho de otra forma, para "cargártelo" debes asegurar que no es cero.

En cierto modo el paso de multiplicar por (a-b) también es algo "erróneo". No es tan erróneo como lo otro. Pero es meter ruido. es como decir: parto de

* Enunciado 1: c = a+b
y de repente, es como si digo:

* Enunciado 2: "c es suma de a y b o bien zeta vale 5".

Es cierto que el Enunciado 1 implica el Enunciado 2, pero no al revés, salimos de una verdad para mezclarlo con otra cosa sin que haya motivo para meter cosas raras. Y el enunciado 2 no implica el enunciado 1... Al romper la doble implicación (equivalencia lógica), podemos llegar a soluciones que no existían en el enunciado original. La solución "o bien a = b" nos la hemos sacado de la manga, cual hábil mago.

Slavco dijo...

El error está en el 7mo enunciado:
a - c/2 = b - c/2

Para que esta condición se cumpla a=b, y en ese caso los dos lados de la ecuación darian igual a 0; en ese caso se puede afirmar que 0^2=0^2 y asi eliminar los cuadrados de cada lado.

Si a es diferente de b no se puede eliminar el cuadrado de ambos lados, ya que el cuadrado no es "proporcional".

Jose dijo...

Si , el error cometido , disfrazado de una forma u otra viene a ser siempre simplificar dividiendo por 0