20 de julio de 2007

De zorros y conejos


Espero que este problema os guste; es algo mas dificil ( al menos su solucion matematica) de lo habitual en este blog , pero implica un analisis de la situacion que a mi resulta muy interesante.

En este analisis hay que enfocar el desarrollo del problema segun el comportamiento del zorro.

El problema dice así:

Un zorro ve a un conejo situado a 90 metros de distancia al sur de donde él se encuentra; el conejo empieza a correr en linea recta , a una velocidad de 4 m/s en direccion Este.Al mismo tiempo que el conejo , el zorro empieza a perseguirlo , corriendo a 5 m/s.

¿Cuantos metros habrá recorrido el zorro cuando alcance al conejo?

Notas :

1. Es un problema matematico , no tenemos en cuenta las aceleraciones iniciales ni posibles alteraciones en las velocidades de ambos animales ( es decir , nada de si el movimiento del conejo es en zig-zag o excusas parecidas)

2.La distancia pedida es la minima requerida , claro , no vale decir que hay infinitas soluciones si el zorro se dedica a correr sin sentido.

3. El zorro es un animal listo , pero no es un matematico ni adivino.

4. No hay trucos respecto a la curvatura de la Tierra ni a la situacion geografica , es decir no estamos en los polos ni cerca de ellos , que ya nos conocemos...;) , consideramos la superficie plana y el Este y Sur son siempre Este y Sur.Es un problema matematico,con razonamiento logico pero no de pensamieto lateral


Todos los enfoques serán bienvenidos.


Actualizacion: Soluciones en comentarios. Alt+126 , macnolo y Antonio-icando , enfocaron bienm el problema.

14 comentarios:

Anónimo dijo...

450 metros

Fdo:Antonio-icando

Francisco, Chile dijo...

115 metros

Anónimo dijo...

recorre 150 mts

Atte.
Eduardo Campos Hdz.

macnolo dijo...

Haciendo unos calculos rapidillos con trigonometria salen 30 segundos, suponiendo q el zorro va siempre en linea recta y sabe donde interceptar al pobre conejo.
por lo q voto tb por los 150 metros

Charly dijo...

Coincido con los 150 mts.

Suponiendo que se dibuja un triángulo rectángulo, donde:

* El cateto 1 mide 90 mts. (distancia inicial entre el zorro y el conejo)

* El cateto 2 mide 120 mts. (distancia recorrida por el conejo en 30 segundos, a razón de 4 mts. por segundo)

* La hipotenusa mide 150 mts. (distancia recorrida por el zorro en 30 segundos, a razón de 5 mts. por segundo)

Luego, 150^2 = (90^2) + (120^2)

Anisett dijo...

charly, de donde salen los 30 segundos?


voy a pensar un rato y vuelvo.

Jose dijo...

Como dije al principio , este problema no es facil.

La solucion de Antonio-icando de 450m implica que el zorro primero corre 90 metros al sur y luego persigue al conejo hacia el este hasta que lo alcanza.Esto podria explicarse si por ejemplo hubiese una pared o un acantilado en los primeros 90m que impidiese al zorro ir hacia el Este.

La solucion de Francisco , 115 m , no la veo.

La solucion mas repetida ,propuesta inicialmente por Eduardo Campos, de 150m , implica , como bien explican , macnolo y Charly , que el zorro "es un buen matematico" y "adivina" la trayectoria que seguirá el conejo , con lo que corre en la direccion que finalmente se encontraran.

La nota 3 del enunciado precisamente está puesta para desechar esta solucion ( por otra parte , matematicamente correcta), puesto que el zorro no puede saber de antemano la direccion y la velocidad del conejo , es decir y si a éste se le ocurre darse la vuelta , o simplemente pararse;

La solucion viene por que el zorro adapte su trayectoria a la de una optima persecucion al conejo ( pero sin adivinar que el conejo ira siempre hacia el Este).

Con esto , el problema sigue abierto.

Anónimo dijo...

entre 152 y 154 metros aprox.john h

Anónimo dijo...

Jose, ahora mismo no me acuerdo de fórmulas matématicas, he buscado un poco en internet pero no lo encuentro, y no me apetece buscar esto, que es la solución: El zorro traza media circunferencia desde el punto inicial A, hasta que coge al ratón en B. El ratón traza una trayectoria perpendiacular y el zorro se adapta, manteniendo contacto visual y haciendo medio círculo hasta que coge al ratón.

Fdo: Antonio-icando

macnolo dijo...

Le he dado un par de vueltas a este acertijo pero no se me ocurre un método de resolución lo suficientemente simple sin emplear cálculo diferencial, cosa q ni voy a intentar. Lo que dice antonio-icando no es una aproximación válida, ya que se da por hecho q el conejo corre 90 metros, cosa q es imposible si el zorro va a 5m/s. Lo q si q podemos acotar es la distancia del conejo, q recorre entre 120m(zorro adivino) y 360m(zorro recorriendo 90m al sur). El problema esq de esta manera la distancia recorrida por el zorro siguiendo una curva de 2º grado yo al menos no se como hallarla.

Si me he equivocado en algo aclaradlo por favor, y a ver si alguien encuentra la solución, q al menos por mi parte le daré un par de vueltecillas más.

Alt+126 dijo...

Acabo de descubrir este blog, como mola, jeje.

Bueno, al trapo:
si consideramos que la trayectoria es una curva no uniforme la tecnica matematica me supera. Pero por aproximacion podemos usar una curva uniforme sacada de una circunferencia perfecta. De esta manera el zorro recorrera los 141.37m del cuarto de circunferencia en 28.27s. En este tiempo el conejo ha hecho 113m, por lo tanto estan a unos 23m de distancia. A 1m/s de diferencia... todo sumado nos da 51s que vienen a ser 255m para el zorro.

Jose dijo...

Bueno , los 3 ultimos comentarios de Antonio-icando , macnolo y Alt+126 enfocan el problema correctamente.
Como ha ocurrido en otros post , vuelvo a comentar que este no es un blog de matematicas superiores , aunque algunos de los lectores sí sean grandes matematicos.
La solucion es complicada y hay que recurrir al calculo diferencial ( un amigo matematico me ha escrito su solucion en un papel, dice que no es dificil, pero leyendo esos garabatos y sin explicacion , no me atrevo a transcribirla al blog , lo siento, Antonio).

La solucion que el me da es de 250 metros ( 50 segundos) , ya que no es exactamente 1/4 de circunferencia , tal como propone Alt+126, que es el que mas se acerca.

En fin , si algun matematico lector se anima con el calculo diferencial, estupendo ; sino , procuraré cuando actualice las soluciones , poner la solucion que me pasaron , aunque no creo que pueda explicarla muy bien.

Para mi , lo bonito era la interpretacion del problema , como el zorro va adaptando su trayectoria a la del conejo.

Buen trabajo!

macnolo dijo...

ups he llegado tarde, pero aproximando la trayectoria a una cónica sale un resultado tal q el zorro lo alcanza en 43,6 seg, q vienen a ser unos 218 m

La fórmula q he encontrado es una aproximacion del perimetro de la elipse:

p=2pi*(1/2(a2+b2))^1/2

Un saludo

Jose dijo...

Solucion con derivadas ,( si algo no se entiende , lo mas probable es que no sepa explicarlo):

Siendo s la “diagonal” ( en realidad el arco que describe el zorro)
-

Sol:
Formamos las derivadas. |\ / \ dl
(1) Separacion distancia: s => ds = dl - vd*dt |_\ vd*dt / _\
dw vr*dt
(2) eje x separacion : r => dr = vr*dt - dw

(3) Por semejanza de triangulos : vd*dt ~ vr*dt
——– ——-
dw dl

=> dw = dl*vd/vr

(4) Eliminamos terminos : => dr = -vd*ds/vr + (vr^2 - vd^2)*dt/vr

rc 0 tc
/ / /
(5) Integral : | dr = -(vd/vr)|ds + (vr^2 - vd^2)/vr/|dt
/ / /
0 90 0

(6) Cuando: rc = 0 (Lo alcanza!!!)

(7) por lo tanto : 0 = (vd/vr)*90 + (vr^2 - vd^2)*tc/vr

tc =vr*vd/(vr^2 - vd^2)*90/vr

=90*vd/(vr^2 - vd^2) Tiempo de captura

= 90*5/(25-16) = 50 s.

distancia = tc*vd = 250 el zorro

sale bien porque dH/dt = vd*(R-H)/|r-H|

& arco-longitud integral =
integrando( sqrt(dH/dt.dot.dH.dt) dt =
integrando( vd,dt) = vd*tc

Enviado por J. D. T.