22 de abril de 2007

Bolas de colores


Tengo una bolsa con N bolitas, todas grises menos una que es roja. Saco una bolita, miro el color y la pongo de vuelta en la bolsa. Después de 60 extracciones, saco por primera vez la bolita roja. ¿Cuál es la cantidad más probable de bolitas que hay en la bolsa, es decir, cuál es el valor más probable de N?




Visto en : Dotuev


Actualizacion : Solucion en comentarios

14 comentarios:

anonimoconocido dijo...

n=61

n-1=60

Oloman dijo...

Siguiendo la ley de probabilidades, para tener 1/60 de probabilidad, que es lo que ha pasado, debería haber un caso bueno (1 roja) de cada 60 posibles. Por tanto lo más probable es que haya 1 roja y 59 grises.
Siguiendo la Ley de Murphy, sólo hay 2 bolas: 1 gris y otra roja...¡y he tardado 60 extracciones en sacar la maldita bola roja!

Jose dijo...

Me surgen dudas sobre la respuesta de 60 bolas.
por ejemplo , si hay 60 bolas , la opcion mas probable es que la bola roja salga precisamente la ultima?,
es decir , de 60 extracciones , lo mas probable es que salga 1 vez , pero no la 60ª vez, no?
Sin contar con la ley de Murphy!! :)

Sable dijo...

Eso pensaba yo Jose, pero los lios que me hago con los problemas de probabilidades, hicieron que esperara a tu respuesta.

Simplifiquémoslo a que "Tengo una bolsa con N bolitas, todas grises menos una que es roja. Saco una bolita, miro el color y la pongo de vuelta en la bolsa. Después de 2 extracciones, saco por primera vez la bolita roja"

¿Sería lo mismo si no vuelves a meter las bolas en la bolsa?
En este último caso si lo miras así: para la mayor probabilidad de este suceso, tiene que haber el minimo número de objetos posibles, en este caso 61 (60 grises y 1 rojo).

Espero no haberme equivocado demasiado.

Sable dijo...

"Después de 2 extracciones" quiere decir a la tercera. :)

Jose dijo...

¿mas opiniones????

Anónimo dijo...

Eh,no se si estoy en lo correcto...pero ojala sirva de algo mi razonamiento,,si la cantidad de bolitas es N,y hay una roja,tenemos lo siguiente:

P(gris)=(N-1)/N
P(rojo)=1/N

Por lo tanto,la probabilidad que ocurra el suceso mencionado es

{(N-1)^60}/N^61 (asumiendo que se saco en la 61-ava extraccion,si fuese en la 60 basta restar uno a ambos exponentes)...

Esto es debido a que cada extraccion es independiente de las anteriores,y por el ppio multiplicativo obtenemos el resultado enunciado arriba...ahora bien...si N fuese continuo basta derivar y despejar el maximo d la funcion,pero notemos que en este caso N varia de forma discreta,como sucesion, tomando limite cuando n tiende a infinito notamos que la "sucesion" tiene limite cero en este caso,por lo que el problema es acotado,usando el criterio del cuociente o la diferencia para sucesiones vemos q tambien es decreciente...por lo que el maximo seria el primer n factible...es decir 2.

y la probabilidad es 1/2^61 o 60 segun sea el caso...

El sueño mje derrota disculpen si no conclui bien o falle en algo...

Adios!!

Alvaro

Nemrod dijo...

Oops! Me parece que el razonamiento de Alvaro venía bien hasta la derivada.

Si G indica bolita gris, y R bolita roja, la probabilidad de que salga es:

1er tiro: R

P(1) = 1/N

2o tiro: GR

P(2) = ((N-1)/N) (1/N)

3er tiro: GGR

P(2) = ((N-1)/N)^2 (1/N)

4º tiro: GGR

P(2) = ((N-1)/N)^3 (1/N)

60º tiro: GGGGG...GGGR

P(60) = ((N-1)/N)^59 (1/N)

Después si uno deriva P(60) con respecto a N, sale N = 60.

Nota: es más fácil derivar el ln P(60) que P(60).

Nemrod dijo...

Oops! Me parece que el razonamiento de Alvaro venía bien hasta la derivada.

Si G indica bolita gris, y R bolita roja, la probabilidad de que salga es:

1er tiro: R

P(1) = 1/N

2o tiro: GR

P(2) = ((N-1)/N) (1/N)

3er tiro: GGR

P(3) = ((N-1)/N)^2 (1/N)

4º tiro: GGGR

P(4) = ((N-1)/N)^3 (1/N)

60º tiro: GGGGG...GGGR

P(60) = ((N-1)/N)^59 (1/N)

Después si uno deriva P(60) con respecto a N, y calcula dP(60)/dN = 0, sale N = 60.

Nota: es más fácil derivar el ln P(60) que P(60).

Nemrod dijo...

También puede graficarse P(60) vs. N para ver el máximo (ver archivo Excel: http://ar.geocities.com/muzarelax/BolsaBolitas.xls ).

Anónimo dijo...

Aaa,voy a tener q postear de nuevo...=( recien habia posteado y no m lo mando,,en fin...

Posiblemente me haya equivocado al analizar la monotonia de la sucesion ya que la hice al ojo =) jaja por eso mismo no la explicite,pero en fin...lo que no me queda claro es el hecho de derivar una sucesion con dominio infinito numerable,osea con variacion discreta,por lo que la nocion de derivada no queda bien definida ,por la falta de vecindad de los puntos del dominio...y lo de derivar el logaritmo para encontrar el maximo es logico por ser ln funcion est creciente y un maximo en f(x) es maximo tb en ln(f(x) ....eee se podra extender la sucesion al caso continuo definiendola por trozos??,osea dejando los intervalos vacios como uniones entre dos ptos consecutivos?? como redefinir la funcion como la sucesion dejandolo en funcion de x,de la forma que si x es natural,asignar el valor de la sucesion,y en caso contrario asignar un valor contenido en la recta q une ambos puntos consecutivos en el intervalo que pertenece X...:S no se si se entiende..pero too ese esfuerzo es para tratar de justificar la derivada....


Yo no quise derivar por que pense que se salia de formalismo y me dio miedo jajaj ...

Eso!!

Alvaro,Exclente pagina me paseare mas seguido

Anónimo dijo...

jaja si...llegue de la U y derive logaritmo d la funcion y ene efecto da 60,si hubiese sido un decimal bastaba "redondear" el numero a el natural mas cercano,teniendo en cuenta el comportamiento de la vecindad de la funcion...pero en fin...seria el problema.adios

Ivancete dijo...

hay 3 putas bolitas, 2 grises y una roja

Anónimo dijo...

El minimo es de 3, por que tiene que haber por lo menos dos grices , ya que se anunciaron en plural, y una roja.